祝! 難問ABC予想  望月新一 教授が証明  (京都大数理解析研究所教授) 16歳でプリンストン大入学
数論幾何学 望月新一 教授



未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月新一 教授 斬新・難解で査読に8年

ABC 予想_comm


  未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明したとする望月新一・京都大数理解析研究所教授(51)の論文が、同所が編集する数学専門誌に掲載されることが決まった。3日、京大が発表した。ABC予想は、素因数分解と足し算・かけ算との関係性を示す命題のこと。4編計646ページからなる論文は、斬新さと難解さから査読(論文の内容チェック)に8年かかったが、その正しさが認められることになった。有名な数学の難問「フェルマーの最終定理」(1995年解決)や「ポアンカレ予想」(2006年解決)の証明などと並ぶ快挙となる。


ABC予想とは
 望月教授は2012年8月、構想から10年以上かけた「宇宙際タイヒミューラー(IUT)理論」の論文4編を、インターネット上で公開した。これを用いればABC予想など複数の難問が証明できると主張し、大きな注目を集めたが、既存の数学が存立する枠組み(宇宙)を複数考えるという構想はあまりに斬新で、「未来から来た論文」とも称された。加えて、1000ページを超える望月教授の過去の論文に精通しないとIUT論文を読み解くことは難しく、理解できた数学者は世界で十数人しかいないと言われている。

 望月教授は京大広報課を通じ、解説を公表。「証明完成まで20年ほどかかった」とし、「ABC予想の解決は、IUT理論の一つの重要な帰結であるだけでなく、この理論が整数の深い性質をとらえ得るほど十分な深さを持った理論であることを示している」とした。

 京大によると、論文は同所が編集し、欧州数学会が発行する専門誌「PRIMS」(ピーリムズ)に2月5日付で受理された。今後、特別号に掲載される予定。望月教授はPRIMSの編集委員長だが、今回は除外され、特別編集委員会を設置して論文を審査した。

「天賦の才能を持った人」

望月新一・京都大数理解析研究所教授

 望月新一教授は1969年3月、東京生まれ。5歳の時、父親の仕事の関係で渡米し、16歳で米プリンストン大に飛び級入学。19歳で同大大学院に進み、「数学界のノーベル賞」と言われるフィールズ賞受賞者のゲルト・ファルティングス氏に師事した。

 23歳で博士号を取得後、帰国し、京大数理解析研究所の助手に採用されると、96年に助教授、2002年には32歳の若さで教授に就任した。数論幾何学の業績は早くから認められ、45歳未満の研究者を対象に04年度に創設された日本学術振興会賞の第1回受賞者となった。

 これまでメディアへの露出を避け、近況をホームページやブログで時折発信している。

 公私にわたり親交の深い加藤文元・東京工業大教授(数論幾何学)は「普段は気さくで『普通』の人。ただし、特に数学に関しては、物事を非常に深く見つめ考える天賦の才能を持った人」と評する。「(望月教授が提唱し、ABC予想を証明した)IUT(宇宙際タイヒミューラー)理論は、数学界の『革命』と言っていい。ノーベル賞が何個あっても足らないほどの成果だ」とたたえた。

英ノッティンガム大のイワン・フェセンコ教授(純粋数学)の話
 宇宙際タイヒミューラー(IUT)理論は全く新しい視点と、整数の足し算とかけ算の関係についての深い理解に根差している。今世紀、数学界で得られたいかなる業績より数段上の成果だ。それが日本から生まれたことはすばらしい。この成果は何百年後にも記憶され続けるだろう。

ABC予想とは

望月新一教授の論文=大阪市北区で2020年4月2日

 1985年に欧州の数学者が提示した整数論の問題。「a+b=c」となる互いに素な(1以外に共通の約数を持たない)正の整数a、bとその和cについて、それぞれの互いに異なる素因数の積(d)を求める。このとき「c>dの1+ε乗(εは正の実数)」となるようなa、b、cの組は「たかだか有限個しか存在しない」とする予想。ABC予想が証明されると、「フェルマーの最終定理」など他の難問も簡単に導き出すことができ、数学界で今世紀最も重要な業績になるとされ、世界の数学者が証明に取り組んでいる。

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16歳でプリンストン大入学 「ABC予想」証明の望月教授は「天賦の才能持った人」


 数学界の超難問「ABC予想」を証明した望月新一・京都大数理解析研究所教授(51)は1969年3月、東京生まれ。5歳の時、父親の仕事の関係で渡米し、16歳で米プリンストン大に飛び級入学。19歳で同大大学院に進み、「数学界のノーベル賞」と言われるフィールズ賞受賞者のゲルト・ファルティングス氏に師事した。

 23歳で博士号を取得後、帰国し、京大数理解析研究所の助手に採用されると、96年に助教授、2002年には32歳の若さで教授に就任した。数論幾何学の業績は早くから認められ、45歳未満の研究者を対象に04年度に創設された日本学術振興会賞の第1回受賞者となった。

 これまでメディアへの露出を避け、近況をホームページやブログで時折発信している。

 公私にわたり親交の深い加藤文元・東京工業大教授(数論幾何学)は「普段は気さくで『普通』の人。ただし、特に数学に関しては、物事を非常に深く見つめ考える天賦の才能を持った人」と評する。「(望月教授が提唱し、ABC予想を証明した)IUT(宇宙際タイヒミューラー)理論は、数学界の『革命』と言っていい。ノーベル賞が何個あっても足らないほどの成果だ」とたたえた。
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数学の未解決難問「ABC予想」、望月・京大教授が証明…論文掲載へ


京都大は3日、数学の未解決難問「ABC予想」の証明に成功したとする京大数理解析研究所(数理研)の望月新一教授(51)の論文について、国際的な数学専門誌「PRIMS」に掲載が決まったと発表した。投稿から7年半という異例の時間をかけて他の数学者たちが検証し、正しいと認めた。専門家は「数学史に残る偉業」と評価している。


 ABC予想は1985年に欧州の2人の数学者が提唱。整数A、Bと、それらを足し合わせたCの間に、かけ算が絡む特別な関係が成り立つと予想している。

 望月教授は、整数論や幾何学を組み合わせた「宇宙際うちゅうさいタイヒミュラー理論」という全く新しい理論を提唱。この理論に基づいてABC予想を証明したとする4本の論文を、2012年8月に自身のホームページ上で発表し、PRIMSに投稿した。全体で600ページ以上に及び、あまりにも独創的な内容から「未来から届いた論文」などと評された。

 PRIMSは数理研が編集し、欧州数学会が発行する。望月教授が編集委員長を務めるが、今回は本人が審査に関与できないように特別編集委員会を設けて数人で審査し、2月に掲載を認めた。

 記者会見した特別編集委員長の玉川安騎男あきお教授は「学問的な観点から慎重に議論を重ね、証明が正しいと認めた」と、公正な審査だったことを強調した。

 望月教授は19歳で米プリンストン大数学科を卒業し、32歳の若さで京大教授に就任した天才肌の数学者。メディアの取材に応じない意向を示しており、記者会見にも出席しなかった。

 加藤文元ふみはる・東京工業大教授(数論幾何学)の話「望月教授の理論はABC予想の証明にとどまらず、他の数々の未解決予想の証明にもつながると期待される。21世紀の数学を代表する業績で、今後の数学界への影響は計り知れない」


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ABC予想証明、異例の長期検証 数学者も「理解不能」

京都大数理解析研究所の望月新一教授(51)が、数学の超難問「ABC予想」を証明したとする論文を公表してから約7年半。「未来からやってきた理論」と評され、世界でも理解できる数学者は10人ほどとされる革新的な論文は、称賛と疑念の7年半を経てようやく検証が終わり、証明が確定した。
 「興奮」の始まりは2012年8月30日だった。

4編の英語の論文が、望月氏の研究室のホームページに突如公表された。超難問として有名なABC予想が解決された――。論文の存在は次々と世界の研究者に伝わり、驚きに包まれた。英科学誌ネイチャーは「証明が正しければ、21世紀の数学の最も驚くべき業績の一つ」と紹介。米ニューヨーク・タイムズは「数学の謎にブレークスルー」と報じた。
 だが、その興奮は次第に冷めていった。


 論文が、独自の数学用語や記号、定義にあふれ、ほとんどの人が大意さえつかめなかったためだ。米ミシガン大のジェフリー・ラガリアス教授は取材に対し、「多くのアイデアが新しい数学言語で説明されており、理解するには壁は高くて多い」と指摘した。「新しい概念ゆえに、どこが分からないのかさえ分からない」と漏らす数学者もいた。ABC予想の提唱者の1人、仏ソルボンヌ大のジョゼフ・オステルレ名誉教授でさえ「論文を理解できない」と回答した。当初、理解者は数人程度と言われた。

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ABC予想は超難問 解ければフェルマーの最終定理証明も


京都大の望月新一教授が証明した「ABC予想」は整数の性質に関する問題で、数学の多くの未解決問題の中でも超難問として知られる。

 ABC予想は1以外の公約数を持たない自然数A、Bと、その和であるCについて、それぞれの素因数分解がどのように関係しているかを示した不等式。望月氏によると、足し算と掛け算の「絡み合い方」の性質に関する予想だという。

 数学の難問は、米クレイ数学研究所が2000年に1問当たり100万ドル(約1億円)の賞金を懸けると発表した7問の「ミレニアム問題」が有名だ。ABC予想は含まれていないが、匹敵する超難問とされる。

 ABC予想には複数の種類があり、今回とは別のタイプの予想を証明できれば、解決に約350年かかったフェルマーの最終定理の証明も導けるという。


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ABC予想の新理論「ゼロから構築」 京大が称賛 望月氏は姿見せず 
ABC予想 望月新一教授 数理解析研究所
数学の重要な未解決問題だった「ABC予想」を証明した京都大の望月新一教授。論文が学術誌に掲載されることが決まり、同大は3日、会見を開いたが、望月氏は姿を見せなかった。

 会見したのは共同で編集委員長を務めた柏原正樹特任教授と玉川安騎男教授。望月氏が欠席した理由について質問が出ると、玉川氏は「審査の公正を期して、(編集作業の)最初から完全に望月さんを排除した。本日は編集委員会としての会見だ」と説明した。

 その後も望月氏の人物像や論文掲載への反応などについて質問が相次いだ。メディア側は晴れ舞台への出席を求めたが、出たくないと本人が断ったという。

 新しい数学を切り開いた望月氏の研究姿勢については、玉川氏は「とにかく徹底的に何かをする。ゼロから理論を構築していくのが彼のスタイル」と語った。

 難解な論文は600ページを超えた。柏原氏は「査読に7年あまりを要し、ものすごく大変な作業だった」と、ほっとした表情をみせた。

 論文の出版時期は未定だが、玉川氏は「若い方が興味を持って読んでくれれば。これを機に日本でも世界でも研究が活性化すれば喜ばしい」と期待を寄せた。
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ABC予想証明「数百年に1度」の偉業 望月新一氏、独創的理論

 数学の難問「ABC予想」を証明した望月新一京都大教授の新理論は「異世界から来た」といわれるほど独創的で難解だ。発表から8年近くを経て、ようやく学術誌への論文掲載が決まったが、理解できる数学者は今でも世界でわずか10人程度という。他の難問解決にとどまらず、数学そのものを革新する可能性を秘めており、今世紀の数学に重大な影響を与えそうだ。

 新理論の「宇宙際タイヒミューラー理論」は、数学上のある概念を示す宇宙という言葉と、図形を扱う理論名を組み合わせて命名した。

 望月氏の独創性は、整数の数式であるABC予想の解決に幾何学の理論を当てはめるなどした上で、より抽象的で高い次元の世界を対象とする新理論を一から作り上げた点にある。研究開始から証明完成まで約20年かかったという。

 東京工業大の加藤文元(ふみはる)教授(数論幾何学)は「数学のさまざまな場面で使えるかもしれない全く新しい手法を創造した。新大陸発見のように、誰も気づかなかった数学の世界を切り開いた。数百年に1度の業績だ」と話す。

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ABC予想証明の望月氏はどんな人? 32歳で教授、好物は焼肉


望月新一氏は東京都で生まれ、父親の仕事の関係で5歳のときに渡米。16歳で名門のプリンストン大に入学し、19歳で卒業した。大学院に進み23歳で博士号を取得。世界屈指の数学研究機関である京都大数理解析研究所に入り、32歳の若さで教授に就任した。

 専門は、整数に関する問題を幾何学的な手法で解く「数論幾何」。これまでの業績では、「遠アーベル幾何予想」という難問の証明に成功し、平成16年度の日本学士院学術奨励賞を受賞。図形のグループが代数的な構造まで決めるという理論で、これが今回の新理論につながった。

 メディアの取材に応じない一方、ホームページでは「元気にやっています。所在地 京都府」といった自身の「安否確認情報」を随時更新して公表。人物像は謎に包まれている。

 望月氏のものとみられるブログには、NHK紅白歌合戦の感想や社会、文化、国際情勢などを独自の数学的解釈で考察した個性的な文章が記されている。旅行や国際交流が苦手で「何十年にもわたり、基本的には自宅や研究室に閉じ籠もって数学の研究に打ち込む生活を送ってきた」という。

 フィールズ賞受賞者で、プリンストン大時代に望月氏を指導した独ボン大のゲルト・ファルティングス教授は「とても自立していて、なかなか自尊心の強い人だった」と振り返る。

 親交が深い東京工業大の加藤文元教授によると、望月氏は「大天才で、深く物事を考えるタイプ」。気さくな性格といい、焼き肉が大好きで、行きつけだった京大近くの店が突然閉店したときは、二人して入り口で立ち尽くしたという。


 また、デジタル機器への関心が高く、新商品が出るとすぐに購入。すべてのテレビ番組を録画できる「全録レコーダー」を駆使し、好きな番組は見逃さない。


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難問「ABC予想」京大教授が証明 専門家「歴史に残る成果」



世界の数学者が30年余り挑戦して解くことができなかった難問、「ABC予想」について、京都大学は数理解析研究所に所属する教授が証明したと発表しました。専門家は「数学の歴史に残る成果だ」としています。

「ABC予想」は、ヨーロッパの数学者が提唱した整数の性質についての難問で、数学における多くの未解決な難題を解く手がかりになるとして、30年余りにわたって多くの数学者が証明を試みてきましたが、これまで成功した人はいませんでした。

京都大学数理解析研究所の望月新一教授(51)は「ABC予想」を証明したとする4本の論文を書き、複数の研究者が審査する数学専門の科学雑誌に掲載されることになったことから、3日、京都大学が会見を開き、望月教授が「ABC予想」を証明したと発表しました。

この4本の論文は、望月教授が1人で築いた新しい理論を使って「ABC予想」を証明したとしていて、8年前に自身のホームページで公表するとともに、科学雑誌の審査が行われていました。

しかし、この論文は従来の数学の概念や理論の枠組みを離れ、全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため、審査は長期間に及んでいました。

この間、海外の一部の研究者から論文の正しさについて指摘などがあり、望月教授は論文の修正を重ね、今回の掲載につなげたということです。

会見に出席した数理解析研究所の教授は「証明したことに間違いがないと言ってかまわない。『ABC予想』は根本的な問題で、証明できたことは非常に大きなインパクトがある」と話しました。

この分野を専門とする東京工業大学の加藤文元教授は「非常に独創的な新しい論文で、何百年に一回の数学の歴史に残る成果だ」と評価しています。

望月教授 みずから築いた新理論で証明
「ABC予想」は1985年にヨーロッパの数学者によって提唱された数学の難問です。

「ABC予想」は、1630年代に提唱され、解決までに300年以上かかった「フェルマーの最終定理」や、1850年代に提唱され、150年以上たった今も未解決の「リーマン予想」に匹敵する数学の難問とされ、証明できれば今世紀最大級の成果になるとも言われてきました。

「ABC予想」は、整数の足し算とかけ算の間にある特別な関係を証明することで、整数の性質を明らかにしようというものです。

具体的には正の整数のaとbで「a+b=c」が成り立つ時、a、b、cそれぞれを素因数分解した時に現れる異なる素数をかけ合わせたdとcの間には特別な関係が成り立つことを証明します。

これによって、まだ分からないことが多い整数の性質をとけることにつながるため、これまで多くの数学者が証明に挑んできましたが、誰も成し遂げられずにいました。

今回、望月教授は、「宇宙際タイヒミュラー理論」=「IUT理論」と呼ばれる新しい理論を1人で築き、この理論を使って「ABC予想」を証明したということです。

「IUT理論」は前提となる概念から独自に作り出すなど、これまでの数学とは全く異なる枠組みで理論を構成しています。

また、4本の論文全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため審査は長期間におよび、論文の掲載までにおよそ8年かかりました。

一方で、以前から論文の正しさに疑問を投げかけていた研究者も海外を中心に存在していて、望月教授は自身のホームページなどで、新しい枠組みの議論を一から始めて、一つずつ受け入れてもらいたいとしています。


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京都大の望月教授が解いた数学の超難問、「ABC予想」ついに学会誌掲載へ

 数学の超難問といわれる「ABC予想」を京都大学数理解析研究所の望月新一教授(51)が証明したとされる論文が、ついに国際的な数学誌に掲載されることになった。京都大が2020年4月3日発表し、大手マスコミ各社が報じた。

 望月教授は12年8月にこの問題を解いたことを明らかにしていたが、論文を掲載する数学誌がなく、謎の証明となっていた。

 BOOKウォッチでは20年3月18日、このことを論じた加藤文元・東京工大教授の著書『宇宙と宇宙をつなぐ数学』(株式会社KADOKAWA)を紹介したばかり。「ABC予想」が数学の学会誌にこれまで掲載されない理由について は、「理論がとても難解で、論文掲載の事前審査が進まないから」とみられていた。

写真は『宇宙と宇宙をつなぐ数学』(株式会社KADOKAWA)
 加藤教授は今回、毎日新聞の取材に、「(望月さんは)普段は気さくで『普通』の人。ただし、特に数学に関しては、物事を非常に深く見つめ考える天賦の才能を持った人」「(望月教授が提唱し、ABC予想を証明した)IUT(宇宙際タイヒミューラー)理論は、数学界の『革命』と言っていい。ノーベル賞が何個あっても足らないほどの成果だ」とコメントしている。

 朝日新聞は「ABC予想が証明されると、スピロ予想やフライ予想、ボイタ予想などさまざまな数学の難問が一挙に解決するとされる。証明に350年以上かかった『フェルマーの最終定理』も、ABC予想を発展させると、数ページで簡単に証明できてしまうほどだ」と報じている。


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京都 難問ABC予想 京大教授が証明

世界の数学者が30年余り挑戦して解くことができなかった難問、「ABC予想」について、京都大学は数理解析研究所に所属する教授が証明したと発表しました。
専門家は「数学の歴史に残る成果だ」としています。

「ABC予想」は、ヨーロッパの数学者が提唱した整数の性質についての難問で、数学における多くの未解決な難題を解く手がかりになるとして、30年余りにわたって多くの数学者が証明を試みてきましたが、これまで成功した人はいませんでした。
京都大学数理解析研究所の望月新一教授(51)は、ABC予想を証明したとする4本の論文を書き、複数の研究者が審査する数学専門の科学雑誌に掲載されることになったことから、3日、京都大学が会見を開き、望月教授がABC予想を証明したと発表しました。
この4本の論文は望月教授が1人で築いた新しい理論を使ってABC予想を証明したとしていて、8年前に自身のホームページで公表するとともに、科学雑誌の審査が行われていました。
しかし、この論文は、従来の数学の概念や理論の枠組みを離れ、全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため、審査は長期間に及んでいました。
この間、海外の一部の研究者から論文の内容について指摘などがあり、望月教授は論文の修正を重ね、今回の掲載につなげたということです。
会見に出席した数理解析研究所の教授は、「証明したことに間違いがないと言って構わない。ABC予想は根本的な問題で、証明できたことは非常に大きなインパクトがある」と話しました。
この分野を専門とする東京工業大学の加藤文元教授は「非常に独創的な新しい論文で何百年に一回の数学の歴史に残る成果だ」と評価しています。

【ABC予想と新しい理論】
「ABC予想」は、1985年にヨーロッパの数学者によって提唱された数学の難問です。
ABC予想は、▼1630年代に提唱され、解決までに300年以上かかった「フェルマーの最終定理」や、▼1850年代に提唱され、150年以上たった今も未解決の「リーマン予想」に匹敵する数学の難問とされ、証明できれば今世紀最大級の成果になるともいわれてきました。
ABC予想は、整数の足し算とかけ算の間にある特別な関係を証明することで、整数の性質を明らかにしようというものです。
具体的には、正の整数のaとbで「a+b=c」が成り立つとき、a、b、cそれぞれを素因数分解したときに現れる異なる素数をかけ合わせたdとcの間には特別な関係が成り立つことを証明します。
これによって、まだわからないことが多い整数の性質を解けることにつながるため、これまで多くの数学者が証明に挑んできましたが、誰も成し遂げられずにいました。
今回、望月教授は、「宇宙際タイヒミュラー理論」=「IUT理論」と呼ばれる新しい理論を1人で築き、この理論を使ってABC予想を証明したということです。
「IUT理論」は、前提となる概念から独自に作り出すなど、これまでの数学とは全く異なる枠組みで理論を構成しています。
また、4本の論文全体で600ページという数学としては異例の長さの論文だったため、審査は長期間に及んでいました。
一方で、以前から論文の正しさに疑問を投げかけていた研究者も海外を中心に存在していて、望月教授は自身のホームページなどで、新しい枠組みの議論をいちから始めてひとつずつ受け入れてもらいたいとしています。

【専門家“歴史に残る成果だ”】
この分野を専門としている東京工業大学の加藤文元教授は今回の成果について、「この分野で世界的に権威のある信用度の高い学術誌への掲載が認められたことで、論文の正しさについて一定のお墨付きが与えられたことになる。今後、修正が入ることもないとはいえないが、論文の結果は信じて良いと世界の数学者は考えることになる。非常に独創的な新しい論文で何百年に一回の数学の歴史に残る成果だ」と評価しています。
そして、今後については、「ABC予想を証明することは、まだわからないことが多い整数の性質を1度に解いてしまうほどの波及効果があり、今回の新しい理論が数学界に与えるインパクトは非常に大きい。今後、実社会を変えるイノベーションにつながることもありうるかもしれない」しています。

【“議論進展を希望”】
「ABC予想」を証明したとする論文が掲載される科学雑誌で、共同で編集委員長を務めた京都大学数理解析研究所の柏原正樹特任教授と玉川安騎男教授は3日、京都大学でオンライン会見を開きました。
この中で、柏原特任教授は、「この論文をめぐってさまざまな議論が巻き起こったが、一応、確定したということで若い人にも興味を持ってもらい、さらに議論が進展することを希望している」と話しました。
また、審査がおよそ8年間という異例の長期に及んだ理由について、玉川教授は、「600ページという長さのうえに、論文の正しさを審査する側が斬新な理論を理解するのに時間がかかった。既存の数学の理論をまったく新しい方法で組み合わせていて、数学の研究者でも初めて学ぶ学生のようにひとつひとつ理解していかないといけない難しさがある」と説明しました。
そのうえで、望月教授の研究姿勢については、「既存の研究を少し借りるということはせず、基礎の基礎から始めてゼロから理論を構築することを徹底していて、今回の論文にもその姿勢が如実に表れている」と話していました。

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参考


京都の「知」 未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月新一 教授 斬新・難解で査読に8年
http://math00ture.blog.jp/archives/40352869.html


京都の「知」 16歳でプリンストン大入学 「ABC予想」証明の望月新一 教授は「天賦の才能持った人」
http://math00ture.seesaa.net/article/474466059.html


京都 難問ABC予想 京都大学 望月新一 教授が証明  (京都大数理解析研究所教授)
http://playmath.seesaa.net/article/474466269.html

未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月新一 教授 斬新・難解で査読に8年

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参考

数学 「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) 

京都 VSOPも感動! (谷山・志村予想 がカギ)350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) 
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京都賞 受賞記念講演 黒澤 明(思想・芸術部門映画・演劇)、アンドレ・ヴェイユ(基礎科学部門 受賞(数学 整数論・代数幾何学など))国立京都国際会館へ (大学の研究室 教授らとも、京大の友人とも)ame

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http://news00math.blog.fc2.com/blog-entry-251.html

 

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京都大学・望月新一教授「ABC予想」論文が世界を驚かせたわけ

 数論幾何学 望月新一 教授

 現代数学で最も難解だという「ABC予想」を証明したとする京都大数理解析研究所・望月新一教授の論文が話題です。元NASA研究員の小谷太郎氏による、『宇宙はどこまでわかっているのか』(幻冬舎新書/2019年)の「第5章 科学はどこまでわかっているのか」では、〈未解決問題「ABC予想」が証明されたようだ〉として、望月新一教授の論文が世界を驚かせたわけをこのようにしるされていました。

 

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数学者も解読に苦しむ600ページもの証明

 

近ごろ、数学の業界は、重要未解決問題である「ABC予想」が証明されたようだ、という話題で盛りあがっています。

 

証明を発表したのは京都大学数理解析研究所の望月新一教授(1969-)で、その証明論文は全部で600ページを超える膨大なしろものです。これをプリントアウトした人、世界に何人いるんでしょうか。

 

「近ごろ」といっても、その論文は2012年にウェブ上に発表されたものです。

 

何年もたてば、普通は、ホットな話題も温度が下がってくるものですが、そうはならずにかえって沸騰している理由は、その証明がどうやら正しいようだと認められ、学術誌に掲載されることになったためです。

 

この膨大な論文はあまりに難解で、数学業界が理解するのに何年もかかったというのです。

 

けれどもこの件についての世間の報道は、望月教授の生い立ちや人柄に多くのバイト数を費やして、ABC予想そのものについては、難解すぎるためか、さわらぬ数学にたたりなしという態度をとるメディアが多いようです。

 

たしかに、数学者も解読に難儀する600ページの証明をここでわかりやすく説明するのは、まあはっきりいって無理なんですが、男には負けるとわかっていても戦わなければならないときがあるとキャプテンハーロックも言ってます。

 

どんな予想で、なにがすごいのか、解説を試みましょう。

 

ABC予想とはどんなものか

 

「ABC予想」、別名「オスターリ・マッサー予想」とは、フランスのパリ第4大学のジョゼフ・オスターリ博士(1954-)とスイスのバーゼル大学のデイヴィッド・マッサー教授(1948-)が1980年代に発表した予想です。

 

数学業界における「予想」とは、「まだだれも証明できないけど、△△という定理が成り立つような気がするなあ」という主張です。

 

だれかがこういう予想をすると、これを証明したくなったり、あるいはこれがまちがっていることを証明したくなったりするのが数学者という人種です。

 

なんでそんなことをしたくなるのか理解できない方が人類の多数派と思われますが、数学者のそういうモチベーションによって、世の中は進歩してきました。

 

さてABC予想です。これはどのような予想なのでしょうか。いくつか表現方法がありますが、そのうちの一つは次のようなものです。

正の整数AとBの和をCとします。つまり、

 

A+B=C

 

です。正の整数は、素数のべきの積に「素因数分解」することができます。たとえば15ならば、

 

15=3×5

 

4ならば、

 

4=2^2

 

という具合です。AとBは、このような素因数分解をほどこした時、共通の素因数をもたないように選んでおきます。たとえば、

 

A=4、B=15

 

という組み合わせです。このような、共通の素因数をもたないAとBは「たがいに素」だといいますが、べつに覚えなくてもさしつかえありません。一方、たとえば、

 

A=4、B=6

 

という組み合わせは、共通の素因数2をもつので、今回の考察の対象外です。

 

次に、そうやって選んだAとBと、その和Cを、かけ合わせ、素因数分解します。

 

A×B×C=4×15×19=(2^2)×3×5×19

 

さらに、素因数分解の結果から、異なる素因数だけを拾ってかけ合わせて、新たな数Dを作ります。つまり、べき乗は1乗に変えます。

 

(2^2)×3×5×19 → 2×3×5×19=570=D

 

DはA×B×Cの「根基(こんき)」と呼ばれますが、やはり覚えなくてもさしつかえありません。

 

この時、「たいていの場合、DはCよりも大きくなるだろう」というのがABC予想です。

 

「たいていの場合」というのをもっと厳密に表現すると、

 

「ある正の実数εについて、 C>D^(1+ε)を満たすCは有限個しか存在しないだろう」

 

となります。

 

これで一応、あまり難しい数学用語は使わずに、ABC予想を説明してみました。ABC予想は、言い換えると、

 

「たがいに素な整数AとBをたして A+B=C を作ると、Cには、AにもBにも含まれない新しい素因数がいくつも含まれるだろう」という予想です。

 

そういう場合はたいてい、D>Cが成り立ちます。

 

望月新一教授の証明論文あらわる

 

2012年、京都大学数理解析研究所の望月新一教授が、個人ホームページに「宇宙際タイヒミュラー理論」と題する4篇の論文をアップロードしました。

 

合計で500ページ(後に補足を含めて600ページ)になる大論文です(*1)。

 

この論文は世界的に注目を浴びました。なにしろ、

 

・実績とユニークな言動で業界に知られる望月教授の論文である。(今度は何を始めたんだ。)

 

・ABC予想の証明論文である。(本当だったら快挙。)

 

・膨大で難解で、同業者にも理解が困難である。(なにかすごいことが書いてあるのだろうか。)

 

というわけです。まだ査読を受けて学術誌に掲載されたわけではないのに、早速(2012年)、『ネイチャー』にもとり上げられました。

 

論文がたどった異例ずくめの経過

 

望月教授のABC予想証明論文は、数理解析研究所の発行する学術誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences(PRIMS)』(編集長は望月教授)への投稿論文ということになります。

 

通常、論文を受け取った学術雑誌の編集部は、(査読のある学術誌なら)査読者(レフェリー)に読んでもらいます。

 

編集部がその論文の研究分野の研究者から査読者を選び、匿名で査読をおこないます。

 

査読は数週間程度、長いと数カ月かかるものですが、望月論文の場合は5年以上という異例の長期間におよびました。

 

証明論文でもちいられている「宇宙際タイヒミュラー理論」は、望月教授が20年以上取りくんで、ほぼ独力で構築してきた理論です。

 

論文には多くの新しい用語や定義がちりばめられ、専門家にとっても理解するのに相当な努力が必要です。

 

5年の間には、この論文を勉強するための国際会議も開かれました。普段、日本国外で講演しない望月教授もTV会議システムで参加しました。

 

ただしほとんどの聴衆は望月教授の説明を理解できなかったようです。

 

まだ正式に掲載されていない論文の勉強会がおこなわれるとは、これも異例です。そうでもしないと理解が進まず、査読もできなかったのです。

 

関係者のそうした努力の結果、論文に誤りがないようだと結論され、ついに受理が決まりました。(ただし2019年現在、掲載はまだ決まっていません。)

 

専門家も読解に苦労するこの600ページの望月論文、筆者もページをめくってみたものの、残念ながらというか当たり前というか、やはり理解できませんでした。

 

(LaTeX〈*2〉でこんな数式が表示できるのか、と感心したので、ソースを見たくなりました。)

 

ABC予想は整数について述べていますが、望月論文では、これを楕円曲線についての定理に置き換えます。さらにフロベニオイドという新たな数学概念を作りあげ、これをもちいて楕円曲線をあつかい、証明をおこなっているようです。

 

無責任なようで申し訳ありませんが、証明方法についてこれ以上詳しく知りたい方は、原論文をご参照ください。

 

それにしても、ABC予想は一見単純なのに、それを証明するとなると、新しい数学概念と600ページが必要だとは、数学の世界とそれを探求する人類の営みは、実に深遠です。

 

*1─http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf 

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf 

*2─数式入力などに定評がある組版処理システム。物理系や数学系の論文は、だいたいこれを使って書かれる。

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