感動!「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論])  歴史編

フェルマーの最終定理 の歴史 (証明までの流れ)


概要
定理の主張は非常に簡単であり、

「方程式 xのn乗+yのn乗=zの乗 が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」
というものである。

この定理が産声を上げたのは17世紀。フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが、彼の愛読書である『算術』(ディオファントス著)の余白に書き込んだメモがきっかけである。 さらに、

私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。
とのコメントが記してあった。まるで誰かがそのメモを見ることを予想していたかのように。

『算術』の余白には他にも様々な定理が証明無しで記してあり、彼の死後、遺品を整理していた遺族によって発見され、これらのメモ書き付きで再販された。その後、何人もの数学者によってそれらの定理に証明が与えられていったが、最後まで残ってしまったのがこの定理である。証明は困難を極め、いつしかこの定理はフェルマーの「最終」定理と呼ばれるようになった(この時点では未証明だったので「フェルマー予想」と呼ばれることもあったが、フェルマーが証明したという伝説にちなんで『定理』と呼ばれていた)。

この定理が証明されるまでに、実に350年以上もの歳月を必要とした。

証明したのはイギリスの数学者、アンドリュー・ワイルズである。この為、現在ではワイルズの定理、あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれる。ワイルズはフェルマー以降に発見された定理や、当時最新の定理を用いてこの難題に対抗。350年もの長い間、多くの数学者を悩ませ続けてきたモンスターも、1995年にようやく沈黙したのである。

ちなみに“n=2”の場合に等式が成り立つ条件について述べたのは、所謂ピタゴラスの定理(三平方の定理)である。

証明の歴史
<1670年>

全ての元凶 フェルマーの死後、彼の息子が遺品整理の際にフェルマーの注釈(最終定理は48個中2番目)を含めたディオファントスの「算術」(親父が証明したって言ってるけどその証明が残ってない定理一覧)を出版する。

またこの時、フェルマー自身はn=4の時についての証明を書き残していた。

<1770年>

レオンハルト・オイラーがn=4を簡略化し、そこに虚数(二乗すると-1になる数)を使いn=3の時の証明に成功する。

そして、その解法はそれぞれの倍数についても同様に成り立つ為 「全ての素数が成り立たないことを証明する」事でフェルマーの最終定理を証明できるとした。

<1823-1847年>

ソフィ・ジェルマンが「フェルマーの定理が成り立つ時は、x,y,zのいずれかがnで割り切れなければならない」と証明(ソフィ・ジェルマンの定理)

ペーター・グスタフ・ディリクレとアドリアン・マリー・ルジャンドが、ソフィ・ジェルマンの定理を用いてn=5の時の証明に成功し、ディリクレは「n=14」の時についても証明する。(後にガブリエル・ラメが「n=7」の時の証明に成功する)

そして、1847年に、業を煮やした数学界が「フェルマーの最終定理」に懸賞金を付ける。

これにガブリエル・ラメとオージュスタン=ルイ・コーシーが競い合って証明を完成させようとするが、証明方法の致命的な欠陥をエルンスト・クンマーに指摘され、断念。

クンマー がその欠陥を直した「ぼくのかんがえたさいきょうのかず」(理想数)を提案するが、同時に「この方法(理想数)を用いてもフェルマーの最終定理は証明できない」とも結論付けた。

(懸賞金はクンマーが受け取った)

<1955年>

志村五郎が、友人谷山豊の発想を元に「全ての楕円曲線とモジュラー形式は、ゼータ関数が一致するのではないか」(谷山・志村予想)と提唱し、ラングランズ哲学の観点から注目される。

(ようするに、全然分野の違う二つの数式が似てるけど、もしかしたら繋がってるんじゃないか?という予想)

※ラングランズ哲学・・・全ての物には数学的な規則性や必然性があり、実は全部深い所でつながってるんじゃないの?という考え
※(谷山・志村予想)は、専門化の間では、今は、「志村予想」である。

<1984年>

ゲルハルト・フライが「フェルマーの最終定理を変形させると楕円方程式の形になる」

そして「その変形させた楕円方程式は谷山=志村予想を満たさない」と発表

その後、ジャン・ピエール・セールによって定型化される(フライ・セールのイプシロン予想)

<1986年>
ケン・リベットが「フライ・セールのイプシロン予想」を証明する

これを整理すると

・谷村志村予想は楕円曲線とモジュラー形式がゼータ関数でラングランズ哲学がフライセールのイプシロン予想で

フェルマーの最終定理のx,y,zに正解があるとすれば、谷山=志村予想は満たされない(谷山=志村予想は間違っている)

言い換える(対偶をとる)と、谷山=志村予想が正しいと証明されれば、フェルマーの最終定理のx,y,zを満たす自然数の解は存在しない。

つまり、谷山・志村予想が正しいと証明出来れば、フェルマーの最終定理も証明出来るということになる。

<1993年>

6月23日

当時、岩沢理論における楕円曲線のゼータ関数の一部の証明に成功し、プリンストン大学の教授だったアンドリュー・ワイルズが、ケンブリッジのニュートン研究所の講演会で、証明に成功したと発表。

世間は大騒ぎになるが、のちの論文の審査で欠陥が見つかる。

当初はこの欠陥について、秘密裏に修復しようと沈黙していたが、論文の審査結果も論文自体も公表されないために、世間が混乱する。

<1994年9月19日>
ワイルズ「もう諦めよう…最後に岩澤理論を見直してみ…………!!!!」 
(本人曰く「夢じゃないかと思うような素晴らしい証明」が頭に浮かんだという」) 
(※ 1994年10月に新しい証明を発表。)

<1995年2月13日>
ワイルズの証明に不備がないことが確認され、330年もの歴史に決着がついた。

(※ 1995年のAnnals of Mathematics誌において出版し、その証明は、1995年2月13日に誤りがないことが確認され、360年に渡る歴史に決着を付けた。)
悪魔の証明
この証明は、300年以上もの間証明されなかったことから悪魔の証明とも呼ばれた。

といっても「証明するのが原理的に不可能」という意味の悪魔の証明ではなく、「数々の数学家を地獄に落とした」という経歴がそう呼ばせるのである。

1847年、クンマーが「現代の数学では不可能」と結論付けてから、1984年にフライ=セール予想が発表され具体的な証明方法が見つかるまでの間も、もちろんこの証明に挑戦する数学家たちは多かった。

特に1900年代に、大富豪ヴォルフスケールが10万マルク(日本円で十数億円)という莫大な懸賞金をこの定理の証明にかけた為、フェルマーの最終定理ブームが起こったほどである。

…がしかし、歴史的に見ても、もちろん証明されていないどころか、特にコレといった発見すらない。

つまり「まったくの無駄な時間」を、この問題に挑戦させた多くの人々に味合わせたのである。

無論、未解決問題の証明には長い長い時間を要する。5年10年では足りないだろう。

だがもし、人生の中の10年という時間をこの問題の証明に費やしても成果が出なかったらどうなるか?

答えは決まって「もっとのめりこむ」のであった。だってすでに10年もの歳月を使ってしまったのだから……。

証明しなければ報われない……だがしかし、証明さえすればこの10年は無駄ではなかった!それどころか十数億!さらには数学界における永遠の栄誉まで手に入る!

…そう信じて、死の直前まで理想を抱いたまま倒れたものがどれだけいただろうか……。

そして、このブームに乗っかったのは数学素人の方が多かったとも言われている。

理由は、この問題の悪魔的要素の一つである「理解のしやすさ」である。

難しい専門用語もなく、理解しがたい数式も無い、たった一行の数式を証明するだけである為に「もしかしたらできちゃうんじゃ」と勘違いする人間が数多く存在した。

さらに、フェルマーの一言「真に驚くべき証明」という言葉から「小難しい理論なんて必要じゃないんじゃない? ひらめき一発で解けるような、そんな問題なんじゃないか?」と勘違いを起こさせた。

実際に、数学者達は「誰も解けてないんだから無理だろう」と諦め、まともに取り組もうとしなかったが、一般人はそうは思わず、一人また一人と地獄送りへなっていった……フェルマー…恐ろしい子…!

一方で、この問題の証明を夢見て数学者の道を志した人間も少なくなく、多くの若者を数学の世界に招き入れたという正の側面も存在する。

最終的に証明に成功したアンドリュー・ワイルズもまた、そういった若者の一人であったのだが、数多の天才が敗れていったこの問題に手を出すことを恩師のジョン・コーツに止められ、数学者になってからしばらくは別の研究を続けていた。

……が、自身の専門分野である楕円曲線の研究がフェルマーの最終定理の内容と繋がることに気付き、それをきっかけにこの問題の証明へとのめり込んでいくいことになる。

ワイルズはこの証明に挑戦するために自室に引きこもり、講義や生徒指導など最低限の仕事しかこなさなくなったと言われている。

それどころか、定期的な発表会でさえ他の研究をしていなかったワイルズは未発表の論文を限りなく薄めて引き延ばすという方法をとり、時間を稼いでいた。

当然、彼の評価は「まともに仕事をしない」「大した成果を出さない」と、失墜していき、同僚からは「人が変わったように無能になった」と言われていた。

そんな生活を、彼は7年も続けていた。彼もまた、もしも結果が出ていなければ、一生を台無しにする所だったのかもしれない…。

(因みに、ヴォルフスケールの懸賞金はワイルズが受け取ったが、当時十数億円と言われた懸賞金は、世界大戦によるハイパーインフレにより500万円ほどの価値であった)
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フェルマーの最終定理(フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem)とは、3 以上の自然数 n について、(xのn乗) + (yのn乗) = (zのn乗) となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後360年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。
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やや専門的な内容

Number Theory and Automorphic Forms 整数論と保型形式
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/689.html

整数論サマースクール 「志村多様体とその応用」

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~abenori/conf/20150817.html

整数論サマースクール 「保型形式のリフティング」プログラム

http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~narita/ss2011_proceedings.pdf

整数論サマースクール報告集 「楕円曲線とモジュラー形式の計算」

http://ntw.sci.u-toyama.ac.jp/ss2017/

整数論サマースクール「多重ゼータ値」

http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/index.html

整数論札幌夏の学校 肥田晴三教授(UCLA)による講義を中心
https://core.ac.uk/download/pdf/42026066.pdf
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研究計画 あの頃考えていたこと(学問編) 数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」

ワイルズによるフェルマー予想の解決にも岩澤理論は大きな役割を果たした。 また、これ以外にも日本人数学者の結果が大きく寄与している。例えば、 肥田(晴三)の理論が有効に用いられたし、解決への道筋は谷山・志村予想を 経由するものであった。 
「谷山=志村予想」は、「志村予想」だった! 先生の「誠実さ、優しさ」
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以下、数学の学習テーマ?の予想?

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整数論サマースクール「多重ゼータ値」
整数論サマースクール「楕円曲線とモジュラー形式の計算」
整数論サマースクール「保型形式のp進family入門」
整数論サマースクール「志村多様体とその応用」
整数論サマースクール 「非可換岩澤理論」
整数論サマースクール 「p 進簡約群の表現論入門」
整数論サマースクール 「Stark 予想」
整数論サマースクール 「保型形式のリフティング」
整数論サマースクール 「アーサー・セルバーグ跡公式入門」
整数論サマースクール 「l 進ガロア表現とガロア変形の整数論」
整数論サマースクール 「保型 L 函数」
整数論サマースクール 「種数の高い代数曲線と Abel 多様体」
整数論サマースクール 「Diophantine Equations」
整数論サマースクール 「Hilbert 保型形式」
整数論サマースクール 「基本群と Galois 表現」
整数論サマースクール 「岩澤理論」
整数論サマースクール 「概均質ベクトル空間」
整数論サマースクール 「ゼータ関数」
整数論サマースクール 「半整数ウェイトの保型形式」
整数論サマースクール 「代数群の整数論入門」
整数論サマースクール 「楕円曲線とその Arithmetic Moduli」
整数論サマースクール 「Siegel 保型形式入門」
整数論サマースクール 「Weil 表現入門」
整数論サマースクール 「等質空間と保型形式」
整数論サマースクール 「志村多様体と保型形式」
整数論サマースクール 「アイゼンシュタイン級数について」
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・整数論全般
加藤 和也, 斎藤 毅, 黒川 信重, 数論1(Fermatの夢と類体論), 岩波.
黒川 信重, 斎藤 毅, 栗原 将人, 数論2(岩沢理論と保型形式), 岩波.
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<数学の女王 「整数論 」 >数学者・志村五郎はなぜ東大を去ったか? 丸山眞男~戦後進歩的知識人との決別の理由/志村理論の始まりは・・・「すべての楕円曲線はモジュラーである」
http://playmath.seesaa.net/article/465817414.html

東大受験必読、数学者・志村五郎の遺した言葉 (ちくま学芸文庫 「数学をいかに使うか」(2010)「数学の好きな人のために」(2012)「数学で何が重要か」(2013) そして「数学をいかに教えるか」(2014) の4冊)
http://math00ture.seesaa.net/article/465867467.html

<数学 「整数論」の世界的権威> 300年来の超難問証明に貢献、志村五郎氏死去 (志村五郎先生のご冥福を、お祈りいたします。)
http://math00ture.seesaa.net/article/465867150.html

数学者(整数論) 志村五郎氏死去 (谷山志村予想とフェルマーの最終定理 300年来の超難問証明に貢献) 2019年 5月3日

http://math00ture.seesaa.net/article/465863003.html

参考 2015年11月
NHK (今日、今晩放送! 全4回)数学ミステリー白熱教室 ラングランズ・プログラムへの招待 数学を統一する 数学の理論(特に対称性)の後!「楕円曲線」「表現論」「保型形式論」・・・
http://math00ture.blog.jp/archives/2822053.html
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ラングランズ・プログラム(英: Langlands program)は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは Langlands (1967, 1970) により提唱された。
ラングランズ・プログラム(英: Langlands program)は、日本の「志村五郎氏」による進展が大きい。
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参考

数学 「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年2月13日( 数学[整数論]) 

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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫) / 「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社

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文系用読者:「教育者」としてのあの頃の感覚として読む
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フェルマーの最終定理 【著者】サイモン•シン(青木薫 訳) 【発行】新潮社(新潮文庫)


整数に関する問題は、問題を理解するのはやさしいが解くのはとてつもな く難しいことが多い。この本の表題ともなっている「フェルマーの最終定理」 の証明もそのような整数問題の1つであり、アマチュア・プロを問わず 300 年もの間、多くの数学者の挑戦を退けてきた問題である。1995 年最終的に 証明を成し遂げた勝者はアンドリュー・ワイルズという数学者であった。し かし、その証明への取り組みは試練に満ちており、7年間の隠密行動、そし て1度は証明できたと発表して、その後証明に穴があることがわかり1年余 りの間、公にさられた状態での穴埋め作業の末ようやく証明完了というドラ マが書かれています。谷山、志村、岩澤、肥田といった日本人数学者もからみ、困難な問題にチャレンジする人間模様を描いた物語として、一読を。

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理系用読者:「数学者」としてのあの頃の感覚として読む
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【書名】「解決!フェルマーの最終定理 現代数論の軌跡」加藤和也著、日本評論社
( フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス) 足立恒雄著 新書 )
( フェルマーの大定理―整数論の源流 (ちくま学芸文庫) 足立恒雄著 )
( フェルマーの最終定理 文庫 フェルマーの最終定理 (新潮文庫) サイモン シン(著), 青木 薫 (翻訳) )


1993年6月23日に、プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を宣言し、その後、証明の不備が見つかり、1年以上に苦考の末、1994年9月19日にその修正に成功したこの期間に、著者が証明の解説として数学セミナー読者向けに書いたものを集めたものである。厳密性はないが、極力丁寧に、正確に伝えようとする、著者の誠実さと、理解の深さが伝わってくる。原論文の 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras にも、整数論にも、非常に惹きつけられる内容だった。購入時にも読んだと思われるが、詳しく覚えていないところをみると、理解しようとはしていなかったのかもしれない。むろん、今回も十分な時間をかけて読んだとは言えないが。

以下は備忘録

「砂田利一『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』」(p.37)「ワイルス『ぼくは、フライとリベットの結果を知ったとき、風景が変化したことに気がついた。(中略)この時まで、フェルマの最終定理は、何千年間もそのまま決して解かれることがなく数学がほとんど注目することがない数論の他の[散発的かつ趣味的な]ある種の問題と同じようなものに見えていた。フライとリベットの結果によって、フェルマの最終定理は、数学が無視することのできない重要な問題の結果という形に変貌したのだ。(中略)ぼくにとって、そのことは、この問題がやがて解かれるであろうと言うことを意味していた』」(p.67)「清水英夫著『保型関数I, II, III』、志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』、Knapp『Elliptic curves』、河田敬義著『数論I, II, III』、藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』、上野謙爾著『代数幾何学入門』、J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』、土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』、肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』、吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義ー』、N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』」(p.123,4)「田口雄一郎さんの手紙に『Deligne さんの家はこの道の始まりのところ、森の入り口にあります。Deligne さんといへども、森羅万象の真理の最奥に至る道のほんの入口のところにゐるに過ぎないといふ、これは自然による卓抜な比喩であると思われます。ところが、恐ろしいことに彼の子供たちは毎日この道を通って森のむかうの学校に通ってゐるらしいのです。』とありました。フェルマーからの350年は大進歩でしたが、人類が続いてゆけば、それは今後何千年の数学の序曲であり、何段も何段も自然の深奥への新しい段階があることでしょう。」(p.239)「ガウス『どのように美しい天文学上の発見も、高等整数論が与える喜びには及ばない』ヒルベルト『数論には古くからの問題でありながら、今日も未解決のものが少なくない。その意味で、多くの神秘を蔵する分野であるが、他方、そこで展開される類体論のような、世にも美しい理論がある』」(p.245)「岩澤健吉『代数体と、有限体上の一変数関数体は、どこまでも似ていると信じてよい』」(p.246)「志村五郎は『整数論いたる所ゼータ関数あり』と述べたが今その言葉に『ゼータ関数のある所 岩澤理論あり』と続けて考えたい」(p.261)『ゼータ関数のある所 肥田理論あり』ともいえる。

「フェルマーの最終定理」を理解したい人(参考 書籍紹介)

N.コブリンツ著(上田勝〔ほか〕訳)『楕円曲線と保型形式』
土井公二/三宅敏恒著『保型形式と整数論』
志村五郎著『Introduction to the theory of automorophic functions』
J.H.シルヴァーマン・J.テイト著(足立恒雄〔ほか〕訳)『楕円曲線論入門』
Knapp『Elliptic curves』
河田敬義著『数論I, II, III』
藤崎源二郎・森田康夫・山本芳彦著『数論への出発』
上野謙爾著『代数幾何学入門』
肥田晴三著『Elementary theory of L-functions and Eisenstein series』
清水英夫著『保型関数I, II, III』
吉田敬之著『保型形式論: ─現代整数論講義』
砂田利一著『基本群とラプラシアン、幾何学における数論的方法』

原論文の
 1. A. Wiles; Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, 
 2. R. Taylor, A. Wiles; Ring theoretic properties of certain Heck algebras
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動画
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京都賞 受賞記念講演 黒澤 明(思想・芸術部門映画・演劇)、アンドレ・ヴェイユ(基礎科学部門 受賞(数学 整数論・代数幾何学など))国立京都国際会館へ (大学の研究室 教授らとも、京大の友人とも)ame 

あの頃考えていたこと(学問編)メモvol.2  数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」Jugem
 

あの頃考えていたこと(学問編)メモvol.1  数学 整数論(志村理論)を知る 「数を読む」 se
 

数学 整数論「素数の宇宙の世界」 Dream of G. Shimura? (志村理論:志村多様体・志村ゼータ関数・志村曲線・志村モデル・志村系リフト・・) 【今日の数学者】2月23日生 志村五郎 li
 

1993年6月23日 プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を宣言 fc2
 

1994年9月19日 プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明を修正 li
 

1995年2月13日 プリンストン大学のA.ワイルスが、フェルマーの最終定理の証明(完成)se
 

感動!数学の歴史 「350年の難問解決! フェルマーの最終定理」 1995年

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